有限元的基本原理

  有限元法是一种求解连续介质力学问题的数值方法。在许多工程问题中由于几何形状和荷载太复杂，因而不可能得到封闭形式的数学解，这就需要一个数值解，提供数值解最灵活的方法就是有限元法。有限元法是结构分析中的一种数值法，它已成为分析连续体的强有力工具，但它并不是只限于结构力学问题，它已经能够成功的用来解决热传导、电磁场、渗流和流体动力学等其它领域中的问题。 有限元法是对古典近似计算的归纳和总结，它吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、按一定方式相互联结在一起的单元的组合提。由于单元能按不同的联结方式进行组合，而且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。有限单元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数。单元内近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表示。这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量。从而使一个连续的无限自由度问题变成场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目的增加，也就是单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。有限元法的理论基础是变分原理或加权余量法，加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。